Examen 3 de Probabilidad

Semestre: Septiembre 2018-Enero 2019, CINVESTAV-IPN

Fecha: 21 de enero

1. Sean $Y_{1},Y_{2},\ldots$ v.a.s Bernoulli i.i.d. tales que $P(Y_{1}=-1)=P(Y_{1}=1)$, y sea $\alpha \in (0,1)$.

(a) Encuentre la función característica de $X=\sum_{n=1}^{\infty}{\alpha^n{Y_{n}}}$ en términos del coseno.
(b) Usando funciones características demuestre que $\sum_{k=1}^{n}{\frac{Y_{k}}{\sqrt{n}}}$ convergen en distribución a una v.a. $ N(0,1) $ cuando $ n\rightarrow \infty $.

2. Sean $ X, \xi_{0},\xi_{1} $ vv.aa. independientes con $ \xi_{0} \stackrel{(d)}{=} \xi_{1} $. Defina $ Y_{i}=X+\xi_{i} $, y $ Z_{i}=E[Y_{i}\mid \xi_{i} ] $. Explique cuáles de las siguientes se cumplen:

$ i $) $ Z_{0} \stackrel{(d)}{=} Z_{1} $, $ ii $) $ Z_{0} \stackrel{a.s}{=} Z_{1} $, $ iii $) $ Z_{0} $ y $ Z_{1} $ son independientes.

3. Sea $ G $ una sub $ \sigma $-álgebra de $ F $. Sean $ X $ y $ Y $ en $ L_{2}(\Omega, F, P) $ con $ Y $ medible con respecto a $ G $. Muestre que  $ E[(X-Y)^2]\geq E[(X-Z)^2], $ donde $ Z=E[X\mid G] $.